Bayes teoremi nedir? Nadir bir hastalık testi örneğiyle açıklayın.

Bayes teoremi, yeni bir kanıt gözlendiğinde bir hipotezin olasılığını nasıl güncelleyeceğimizi söyler:

P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)

• P(A): Prior, kanıttan önceki inanç.
• P(B | A): Likelihood, hipotez doğruysa kanıtı görme olasılığı.
• P(A | B): Posterior, kanıttan sonraki güncellenmiş inanç.

Klasik örnek

Bir hastalık nüfusun %1'inde görülüyor. Test hastaları %99 doğru tespit ediyor (sensitivity) ve sağlıklı kişilerde %5 yanlış pozitif veriyor. Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

P(H) = 0.01,  P(+ | H) = 0.99,  P(+ | sağlıklı) = 0.05

P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
P(H | +) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.167

Yani test pozitif çıksa bile hasta olma olasılığı sadece %16.7'dir. Sebep düşük base rate'tir. 10.000 kişide 100 hasta vardır ve 99'u yakalanır. Ama 9.900 sağlıklı kişiden 495'i de yanlış pozitif çıkar.

ML ile bağlantısı

• Bu durum, dengesiz verilerde precision'ın neden düşük çıktığının tam açıklamasıdır (fraud, anomali tespiti).
• Naive Bayes sınıflandırıcısı özelliklerin koşullu bağımsız olduğunu varsayarak bu formülü doğrudan kullanır.
• Bayesçi yaklaşımda regularization bir prior olarak yorumlanabilir: L2 Gaussian, L1 Laplace prior'a karşılık gelir.
• Bayesian A/B testi ve Bayesian hiperparametre optimizasyonu aynı mantığa dayanır.