Fixed-point aritmetik nedir? FPU olmayan bir MCU'da Q15 veya Q16.16 formatında çarpma ve toplama nasıl yapılır?

Fixed-point, kesirli sayıları sabit bir ölçek faktörüyle çarpılmış tamsayılar olarak saklamaktır. FPU olmayan MCU'larda (Cortex-M0/M3) float işlemleri yazılımla emüle edilir ve onlarca çevrim sürer; fixed-point ise tamsayı ALU'sunda birkaç çevrimde biter ve deterministiktir.

Q formatı

• Q15: 16-bit signed, 1 işaret biti + 15 kesir biti. Aralık [-1, 1 - 2^-15]. Değer = tamsayı / 32768.
• Q16.16: 32-bit signed, 16 tam + 16 kesir biti. Çözünürlük yaklaşık 0.0000153.

#include <stdint.h>

typedef int16_t q15_t;
typedef int32_t q16_16_t;

#define Q15(x)     ((q15_t)((x) * 32768.0f))      /* sadece derleme anı sabitleri için */
#define Q16(x)     ((q16_16_t)((x) * 65536.0f))

/* Toplama: aynı formatta doğrudan toplanır, ama taşmaya dikkat */
static inline q15_t q15_add_sat(q15_t a, q15_t b)
{
    int32_t s = (int32_t)a + b;
    if (s > INT16_MAX) s = INT16_MAX;
    if (s < INT16_MIN) s = INT16_MIN;
    return (q15_t)s;
}

/* Çarpma: sonuç Q30 olur, 15 bit sağa kaydırıp Q15'e döner */
static inline q15_t q15_mul(q15_t a, q15_t b)
{
    int32_t p = (int32_t)a * b;      /* önce genişlet */
    p += 1 << 14;                    /* yuvarlama */
    p >>= 15;
    if (p > INT16_MAX) p = INT16_MAX;  /* -1 * -1 = +1 temsil edilemez */
    return (q15_t)p;
}

static inline q16_16_t q16_mul(q16_16_t a, q16_16_t b)
{
    return (q16_16_t)(((int64_t)a * b) >> 16);
}

static inline q16_16_t q16_div(q16_16_t a, q16_16_t b)
{
    return (q16_16_t)(((int64_t)a << 16) / b);
}

Kritik noktalar

• Çarpımdan önce daha geniş tipe cast edilmezse ara sonuç taşar.
• -1.0 * -1.0 Q15'te +1.0 olur ve temsil edilemez; doyurma (saturation) gerekir.
• Signed sayıyı sağa kaydırma implementation-defined'dır (pratikte aritmetik kaydırma).
• Hassasiyet ile aralık arasında seçim yapılır: ADC verisi için Q15, PID kontrol için Q16.16 yaygındır.

Cortex-M4/M7'de DSP talimatları (SSAT, SMLAD, QADD) ve CMSIS-DSP'nin arm_mult_q15 gibi fonksiyonları bu işlemleri tek çevrimde yapar. Ama Cortex-M4F/M7'de tek hassasiyetli FPU varsa float kullanmak çoğu zaman daha okunur ve yeterince hızlıdır; double ise yine yazılım emülasyonudur.